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证明与反击(第1页)

第二次数学分析课上,维兰德教授点评作业。他站在讲台前,手里拿着几份作业样本。

“大部分同学完成了基础题目,但最后一题挑战题”他举起一份作业,“只有两位同学给出了完整解答。有趣的是,其中一份的解答极其简洁优美,用了柯西收敛准则的变形。”

他翻到作业封面:“露娜·诺伊曼。”

教室里响起窃窃私语。我感觉到目光聚集过来。

“诺伊曼小姐的解答。”维兰德教授将我的作业投影到黑板上,“她将原问题转化为函数序列的一致收敛性证明,然后构造了一个巧妙的控制函数,用到了阿贝尔变换和狄利克雷判别法的思想。这在本科生中很少见。”

他停顿,目光投向我:“能请你简要解释一下思路吗?”

我站起来,走到黑板前。维兰德教授递给我粉笔。

“原题是证明一个含参变量反常积分的连续性。”我边写边说,“常规做法需要分段估计,计算复杂。我注意到积分核可以看作一个函数序列的极限,于是考虑证明该函数序列在参数区间上一致收敛到极限函数。为此,我构造了辅助函数g(x),利用阿贝尔变换将原积分转化为g(x)与另一个函数的乘积的积分,然后应用狄利克雷判别法的一致收敛版本。最后,一致收敛性保证了极限函数的连续性。”

我写下关键不等式,标注每一步的逻辑依据。教室里很安静,只有粉笔敲击黑板的声音。

“完毕。”我放下粉笔。

维兰德教授审视着黑板上的推导,缓缓点头:“思路清晰,技巧运用得当。这确实是本科阶段不常见的解法。诺伊曼小姐,你之前学过实变函数?”

“自学过一部分。”

“自学。”维兰德重复这个词,语气复杂。

我回到座位。下课后,几个男生围到讲台前询问问题。我收拾东西准备离开时,一个声音叫住了我。

“诺伊曼小姐。”

一个高个子男生走过来,他叫马丁·韦伯,他手里拿着自己的作业本。

“我也解出了最后一题。”他将作业本翻开,展示他的解法。那是传统的分段估计法,写了整整三页,密密麻麻的不等式,“我看了你的解法,很巧妙。但我想知道,你真的自己想到的吗?还是参考了某些研究生级别的资料?”

他的声音不大,但周围没离开的人听得清。他们停下了动作,看向我们。

“我自己想的。”我说。

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